“La Línea Recta.”
Escuela: CETIS 71.
Materia: Geometría Analítica.
Nombre: Key Arely Hernández González.
Maestra: Martha Reyna Martínez.
Grupo: 3k.
Fecha: 12-10-2012.
Pendiente & Angulo de inclinación.
Pendiente.
Se denomina pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación. La notación de pendiente es por la letra m y de acuerdo con la definición se expresa por m=tg 0.
Angulo de inclinación.
Se considera como (ángulo de inclinación) a aquel ángulo que se pueda presentar entre un segmento plano (Horizonte) y otro segmento distante.
Condiciones de paralelismo y perpendicularidad.
Paralelas.
Dos rectas son paralelas si sus pendientes son equivalentes entre si. Se resume a esta condición escribiendo: m1=m2.
Las paralelas nunca tendrán un punto en el que se intercepten por mas que se prolonguen y conservaran la misma distancia una de otra. No tienen puntos comunes.
Perpendiculares.
Se dice de la línea o plano que forma un ángulo recto con otra línea o plano. Una figura es perpendicular a otra cuando al cortarla todas sus secciones son un ángulo recto esto se da en:
---Rectas: cuando dos rectas se cortan originan no solo uno, si no cuatro ángulos rectos. Al punto de intersección de dos rectas perpendiculares se le llama pie de cada una de ellas en la otra.
---Semirrectas: dos semirrectas con el mismo punto de origen originan un ángulo de 90 grados y otro de 270 aunque esta última parte no se suele nombrar.
---Planos: similar a las rectas. Son perpendiculares cuando originan cuatro ángulos diedros de 90 grados cada uno.
Determinación de la ecuación de la recta.
-Sabiendo un punto y su pendiente.
La forma mas fácil para encontrar la ecuación de una recta es conociendo uno de sus puntos P(x0,y0) y su pendiente m.
Basta recurrir a la expresión punto-pendiente y-yo=m(x-x0).
-Conociendo un punto y su dirección.
Ecuación de una recta cuando conocemos uno de sus puntos P(x0,y0) y su dirección
La dirección del vector nos da la pendiente de la recta lo que nos lleva al caso anterior.
-Conociendo dos de sus puntos.
Ecuación de una recta cuando conocemos dos de sus puntos P(x0,y0)y Q (x1,y1)
El vector es un vector direccional de la recta y tiene de componentes (x1-x0,y1-y0) y su pendiente será .
- Con su pendiente y la intersección con el eje OY (ordenada en el origen).
Si se conoce su pendiente m y su coordenada en el origen (0,n), basta sustituirlas en la forma punto-pendiente y-n=mx ? y=mx+n.
Distintas formas de la ecuación de la recta.
-Ecuación de la línea recta que pasa por un punto A(X1,Y1) y la pendiente conocida m .
- Conociendo otro punto cualesquiera de la recta P(X,Y) como se indica en la figura:
Apliquemos la fórmula de la pendiente:
Y - Y1 = m(X - X1) Ecuación de la Recta de Punto y Pendiente.
Ecuación de la Línea Recta con Pendiente y Ordenada en el Origen.
Sea una recta con pendiente m que intersecta al eje y en el punto (O,b), siendo b la ordenada al origen y sea P(X,Y) otro punto de la recta como se indica en la figura:
Aplicamos la fórmula de la pendiente:
Despejando y tendremos Ecuación de la Recta de la Pendiente-Ordenada en el Origen (intersección).
y = mx + b
Ecuación de la recta en la forma normal.
La ecuación es la siguiente:
x.cos (?)+y.sen(?)-p=0
Un problema para resolver la ecuación de una recta en su forma normal sería:
x.cos (?)+y.sen(?)-5=0
hallar el valor de "?" para que la recta pase por el punto (-4;3).
-4•cos ? + 3•sen ? = 5
-4•v(1 - sen² ?) = 5 - 3•sen ?
Elevando al cuadrado:
16•(1 - sen² ?) = 25 + 9•sen² ? -30•sen ?
-25•sen² ? + 30•sen ? - 9 = 0
25•sen² ? - 30•sen ? + 9 = 0
Resolviendo:
sen ? = 3/5
? = arcsen (3/5)
Forma polar de la ecuación de la recta.
Las líneas radiales (aquellas que atraviesan el polo) se representan mediante la ecuación
donde f es el ángulo de elevación de la línea, esto es, f = arctan donde es la pendiente de la línea en el sistema de coordenadas cartesianas. La línea no radial que cruza la línea radial ? = f perpendicularmente al punto ( 0, f) tiene la ecuación
Ángulo de intersección entre dos rectas.
Se define el ANGULO entrel1 y l2 como el ángulo positivo obtenido al rotar la rectal 2 hacia l1 . En este caso, el ángulo entre l1 y l2 viene dado por:
b1 = q1 - q2 (1).
El propósito ahora es establecer una relación entre las pendientes de dos rectas y el ángulo entre ellas.
De la igualdad (1) se tiene:
tan b1 = tan (q1 - q2 (2)
También,
cot b1 = cot (q1 - q2)(3)
Puesto que m1=tan q1 y m2=tan q2 , entonces las igualdades (2) y (3) podemos escribirlas en la forma:
tan b1 (2)’
y cot b1 , (3)’
Las ecuaciones (2)’ y (3)’ expresan la tangente y la cotangente del ángulo b1, entre las rectas l1 y l2 en términos de sus pendientes y por medio de ellas se pueden establecer criterios de perpendicularidad y paralelismo entre rectas, como la afirma el siguiente teorema.
Familias de rectas.
FAMILIAS DE RECTAS PARALELAS A UNA RECTA DADA.
Si la ecuación de la recta dada es Ax+By+C=0 y su pendiente es m=-A/B, entonces el conjunto de rectas L1 y que son paralelas a L2 tendrán por ecuación y=mx+b, por el criterio de paralelismo.
Y=-A/Bx+b entonces Ax+By+Bb
Si sustituimos la cantidad constante B por el parámetro K tendremos la ecuación de la familia de rectas paralelas a L1
L1: Ax+By+K=0
FAMILIA DE RECTAS PERPENDICULARES A UNA RECTA DADA.
Si conocemos la recta L1:Ax+By+C=0 con pendiente m=-A/B y si y=mx+b es cualquiera de las rectas, L1 entonces por el criterio de perpendicularidad su ecuación será de la forma:
Y=B/Ax+b entonces L1=Bx-Ay+Ab=0
Si sustituimos por el producto Ab por el parámetro K obtenemos:
L1:Bx-Ay+K=0
FAMILIA DE RECTAS QUE PASAN POR LA INTERSECCIÓN DE DOS RECTAS.
El conjunto de rectas pueden ser 1,2,3……..n, que pasan por un punto se la llama también familia de rectas con centro P.
Si:
L1:Ax1+By1+C1 Y L2:A2x+B2y+C2=0
Son las rectas dadas que cortan en el centro P, la ecuación:
L1: a(A1x+B1y+C)+ß(A2x+B2y+C2)=0
Multiplicando a la primera recta por a y a la segunda recta por ß y a este resultado lo dividimos por a y si suponemos que ß/a=K tendremos:
A1x+B1y+C1+K(A2x+B2y+C2)=0
Por medio de esta ecuación se puede determinar cualquier recta de la familia con centro P. El parámetro K es una constante para cada miembro de la familia que varía de recta en recta.
Aplicaciones de la forma normal de la ecuación de la recta.
La recta L queda determinada por la longitud de su perpendicular trazada desde el origen y el ángulo
positivo W que la perpendicular forma con el eje de las x. La perpendicular OA a la recta L, representada
por P, se considera siempre positiva por ser una distancia. EI ángulo W engendrado por OA varia de
0°= W < 360°.
Si damos valores a p y W, la recta L trazada por A(x1
, y,) queda determinada por la ecuación de la recta en
su forma normal que se obtiene en la forma siguiente:
Observando la figura anterior, tenemos:
cos w = X1/p
sen w = Y1/p
Despejamos: Despejamos:
x1 = p cos w y1 = p sen w
Sustituimos los dos valores anteriores en A = (x1 , y1), con lo cual obtenemos las coordenadas del punto A,
que son: A = (p cos W, p sen w)
Par su parte, la pendiente m de OA es: m =tan w
Como la recta L es perpendicular a la recta GA, sus pendientes están relacionadas con; m1= -1/m2
es decir, la recíproca con signo cambiado. Como ya sabemos que la pendiente de OA es tan w, la inversa
de esta función con signo cambiado de la recta L perpendicular a GA es: -cot w de donde, m =-cot w = COSW/SINW
Rectas y puntos notables de un triángulo.
Las rectas y puntos notables de un triángulo son:
las mediatrices, , que se cortan en un punto llamado circuncentro ,centro de la circunferencia circunscrita al triángulo;
las medianas, , que se cortan en el baricentro, , centro de gravedad del triángulo;
las bisectrices, , que se cortan en el incentro , centro de la circunferencia inscrita del triángulo;
las alturas, , que se cortan en el orto centro, .
Las mediatrices
Las mediatrices de un triángulo acutángulo se cortarán siempre en un punto interior del triángulo, luego su circuncentro será interior al triángulo.
En el caso del triángulo rectángulo vemos que el circuncentro coincide con el punto medio de la hipotenusa
En el caso de un triángulo obtusángulo, el circuncentro es exterior al triángulo.
Las medianas
Las medianas se cortan siempre en un punto interior del triángulo.
El baricentro tiene una propiedad física importante: es el centro de gravedad del triángulo.
Si unimos los puntos medios de los lados del triángulo obtenemos el triángulo que tiene el mismo baricentro que y sus medianas miden la mitad que las de .
Además los lados de miden la mitad que los lados de y la superficie de es la cuarta parte de la superficie de , pues podemos comprobar que al trazar se han definido otros tres triángulos iguales: .
Las alturas.
Las alturas de un triángulo acutángulo se cortan siempre en un punto interior del triángulo, luego su orto centro es interior al triángulo.
Bibliografía.
Pendiente & Angulo de inclinación.
http://www.prepafacil.com/cobach/Main/AnguloDeInclinacionYPendienteDeUnaRecta
http://www.slideshare.net/guestcbc7e4/angulos-de-inclinacin-y-pendientes-de-una-recta-111985
Condiciones de paralelismo y perpendicularidad.
http://www.slideshare.net/guestd7dbd4/condiciones-de-paralelismo-y-perpendicularidad
Determinación de la ecuación de la recta.
"
http://educativa.catedu.es/44700165/aula/archivos/repositorio//1750/1987/html/13_determinacin_de_la_ecuacin_de_una_recta.html
Distintas formas de la ecuación de la recta.
http://azul.bnct.ipn.mx/Libros/polilibros/poli11/capitulo2/2.1.htm
Ecuación de la recta en la forma normal.
http://www.acienciasgalilei.com/public/forobb/viewtopic.php?f=4&t=3635
Forma polar de la ecuación de la recta.
http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares.
Ángulo de intersección entre dos rectas.
http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/4.5.html
Familias de rectas.
. http://geometria-analitica.com/index.php?option=com_content&view=article&id=21&Itemid=31
Aplicaciones de la forma normal de la ecuación de la recta.
http://www.cecytebc.edu.mx/HD/archivos/antologias/geometria_analitica.pdf
Rectas y puntos notables de un triángulo.
http://www.educared.org/wikiEducared/Puntos_y_rectas_notables_de_los_tri%C3%A1ngulos.html
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